Le parole sono importanti: Lossodromia, Ortodromia

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Il fatto che la superficie della terra sia sferica può dare luogo a situazioni apparentemente illogiche più di quanto si possa pensare. Sic stantibus rebus, bando alle ciance! Armatevi di un’arancia quanto più possibile sferica, di tre pennarelli di colore diverso (uno nero, uno verde e uno azzurro), di pazienza mista ad un po’ autolesionismo e scoprite la lossodromia e l’ortodromia.
Supponiamo che la buccia, arancia sferica permettendo, sia la superficie terrestre; il polo nord corrisponde al punto in cui il frutto era agganciato all’albero, il polo sud è esattamente sull’estremità opposta. Con il pennarello nero tracciamo alcune delle infinite circonferenze massime appartenenti alla superficie dell’arancia che uniscono i due poli: stiamo riproducendo i meridiani. Una volta che ne abbiamo disegnata una quantità apprezzabile (12 dovrebbero essere sufficienti, ma se l’arancia è bella grossa fatene pure di più), segniamo sempre in nero due punti che abbiano la seguenti caratteristiche: 1) siano entrambi appartenenti all’”emisfero boreale”; 2) abbiano distanze quanto più possibile diverse rispetto all’ipotetico equatore; 3) siano il più possibile lontani ferme restando le caratteristiche 1 e 2.
A questo punto prendete il pennarello azzurro e congiungete i due punti, facendo attenzione che la traiettoria formi con i meridiani sempre lo stesso angolo. Per essere sicuri di stare procedendo nella maniera giusta, prolungate la traiettoria oltre il secondo punto, continuando a formare angoli uguali con i meridiani; se viene fuori una spirale il cui asintoto è il polo avete fatto bene, ed ecco a voi un esempio di lossodromia.

lossodromia

Ora prendete il pennarello verde e unite ancora una volta i due punti, ma stavolta procedete così: tracciate la circonferenza massima che unisce i due punti appartenente alla superficie dell’arancia. Per farlo con una certa precisione procedete in questo modo: prendete uno spago e avvolgetelo attorno all’arancia in modo che passi per i nostri due punti. A questo punto bloccate con due dita lo spago su ciascuno dei due punti e fatelo ruotare finché il piano da esso generato all’interno dell’arancia non passa, con buona approssimazione, per il centro della stessa. Per esserne sicuri, prima di cominciare a ruotare lo spago prendetelo molto vicino all’arancia, se ruotandolo non vi basterà più e avrete bisogno di usarne un po’ di più la procedura è corretta. Una volta raggiunto l’ipotetico centro con il piano generato dallo spago, bloccatelo in quella posizione e unite i due punti (se avete bloccato bene lo spago esso li unisce ancora) secondo la traiettoria descritta con il pennarello verde. Avete il vostro caso di ortodromia.

ortodromia
In navigazione, con lossodromia (dal greco “loxos”, “curva”, e “dramein”, “correre”) si intende la spirale di tipo logaritmico che unisce una qualsiasi coppia di punti di punti della superficie terrestre tagliando tutti i meridiani con lo stesso angolo e inviluppando, se prolungata, i poli del globo. Discussa per la prima volta dal matematico portoghese Pedro Nunes nel 1537 e ulteriormente sviluppata da Thomas Harriot nell’ultima decade del XVI secolo, essa rappresenta il tipo di navigazione più pratica, poiché consiste nel calcolare la traiettoria rispetto al meridiano passante per la bussola e mantenerla costante per tutto il tragitto. Nella proiezione di Mercatore (proiezione cartografica conforme cilindrica del globo terrestre) le linea lossodromica che unisce due punti è semplicemente un segmento. La proiezione di Mercatore è infatti detta isogonica: mantiene le congruenze degli angoli delle rotte rispetto ai meridiani. L’equazione della proiezione, cui qui non accenniamo la dimostrazione per motivi di eccessivo tecnicismo, stabilisce che date le coordinate di un punto del globo terrestre, nella proiezione di Mercatore esse corrispondono alla differenza tra la longitudine e il meridiano di riferimento per l’asse delle ascisse e al logaritmo naturale della tangente della latitudine diviso due più un quarto di angolo piatto per le ordinate. La comprensione della esatta descrizione matematica non è essenziale, la riporto solo per chiarire la definizione di “spirale di tipo logaritmico” (l’ordinata nella proiezione di Mercatore è appunto l’argomento di un logaritmo naturale).
L’importante è che nella proiezione di Mercatore le linee lossodromiche siano segmenti, e questo rende evidente come l’angolo formato con i meridiani (che nella proiezione di Mercatore sono linee verticali parallele) sia costante. La proiezione di Mercatore, sebbene ancora utilizzata in tutto il mondo in sede nautica, paga questa sua praticità in termini di precisione via via che ci si allontana dall’equatore, e dunque è da considerarsi accurata solo entro certe latitudini. Per capire meglio di cosa stiamo parlando pensate a quanto è grande la Groenlandia nei planisferi: di solito quasi come l’Africa, ma in realtà quest’ultima è circa 14 volte più grande della prima.

schema_sviluppo_proiezioni_cartografiche

L’ortodromia è stata più complicata da disegnare sull’arancia, ma risulta un po’ più facile da definire. Essa è semplicemente l’arco di circonferenza appartenente alla circonferenza massima passante per i due punti di una superficie sferica. Da un punto di vista geometrico, consideriamo tre punti: i due della superficie e il centro della sfera. Sappiamo che per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano; la circonferenza massima giace dunque sul piano dei tre punti (il centro e i due della superficie) e il suo centro coincide con quello della sfera. In aggiunta a ciò, è importante dire che la traiettoria ortodromica rappresenta sempre il tragitto più breve fra due punti appartenenti a una superficie sferica. Se avevate un’arancia sufficientemente tonda e avete disegnato con precisione le due traiettorie la differenza dovrebbe essere apprezzabile: il tratto verde è più breve di quello azzurro.

lossortodromia

Sebbene la rotta ortodromica sia più breve di quella lossodromica, non sempre conviene seguirla. Innanzitutto entro certe distanze e senza grandi sbalzi di latitudine la differenza di percorso risulta quasi nulla; ecco perché abbiamo scelto due punti sull’arancia che avevano distanze differenti dall’equatore, e aggiungiamo che i paralleli sono casi particolari di curve lossodromiche, poiché anch’essi intersecano i meridiani con un angolo costante. Per esempio, navigando entro il mar Mediterraneo la differenza quasi non è apprezzabile. In secondo luogo, seguire una rotta ortodromica richiede una microscopica ma continua correzione di traiettoria rispetto al meridiano passante per la bussola, ecco perché l'”illogicità” di cui si parlava all’inizio: il percorso più breve non è “dritto”, curva continuamente. Una simile operazione risulta però assai poco pratica, pertanto si preferisce assimilare la rotta ortodromica a una serie di piccole lossodromie: ogni tot chilometri si corregge la traiettoria, e la somma dei tratti si approssima più alla rotta ortodromica che a quella lossodromica. In un modo o nell’altro, una certa regolarità dell’angolo risulta irrinunciabile.
Un’ultima precisazione: abbiamo scelto due punti appartenenti allo stesso emisfero poiché la curva lossodromica ha un punto di flesso nell’intersezione con l’equatore, ma su una sfera di dimensioni ridotte come un’arancia non sarebbe stata possibile una rappresentazione accurata.

lossodromia

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